أي من التكاملات التالية تمثل حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة بين المنحنيين حول المحور الأفقي ؟؟
الإجابة الصحيحة من خلال موقع بوابة الإجابات هي:
B
لحساب حجم الجسم الناتج عن دوران منطقة محصورة بين منحنيين حول المحور الأفقي (محور السينات $x$)، نستخدم قاعدة تُسمى "طريقة الحلقة" (Washer Method). وإليك الشرح التفصيلي لسبب اختيار الإجابة B:
1. الفكرة الأساسية:
عندما تدور منطقة محصورة بين منحنيين حول محور أفقي، يتكون شكل يشبه "الحلقة" (دائرة مفرغة من الداخل) عند أي مقطع عرضي. لحساب حجم هذا الجسم، نقوم بطرح حجم الفراغ الداخلي من حجم الجسم الخارجي الكلي.
2. تحديد أنصاف الأقطار:
- نصف القطر الخارجي ($R$): هو المسافة من محور الدوران (المحور الأفقي) إلى المنحنى الأبعد.
- نصف القطر الداخلي ($r$): هو المسافة من محور الدوران إلى المنحنى الأقرب.
3. قانون الحجم:قانون مساحة الحلقة الواحدة هو: $\text{Area} = \pi (R^2 - r^2)$.
ولإيجاد الحجم الكلي للجسم من النقطة $a$ إلى النقطة $b$، نقوم بتكامل هذه المساحة بالنسبة لـ $x$:
$$V = \pi \int_{a}^{b} ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \, dx$$
4. لماذا الخيار B هو الصحيح؟
الخيار B يطبق هذه القاعدة بدقة، حيث:
- يضع الثابت $\pi$ خارج التكامل.
- يربع نصف القطر الخارجي أولاً $[R(x)]^2$.
- يطرح منه مربع نصف القطر الداخلي $[r(x)]^2$.
- يتم التكامل بالنسبة للمتغير $x$ لأن الدوران حول محور أفقي.
تنبيه هام للطلاب:يجب الانتباه إلى أن القانون هو
(مربع الأول ناقص مربع الثاني) $\pi(R^2 - r^2)$، وليس (مربع الفرق بينهما) $\pi(R - r)^2$؛ وهذا خطأ شائع يقع فيه الكثيرون، وهو ما يجعل الخيارات الأخرى خاطئة.
اذا كان لديك إجابة افضل او هناك خطأ في الإجابة علي سؤال أي من التكاملات التالية تمثل حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة بين المنحنيين حول المحور الأفقي ؟ اترك تعليق فورآ.
