عرفي أساليب البرهنة؟
إجابة الطالب المختصرة من خلال موقع بوابة الإجابات هي
أساليب البرهنة هي طرق مختلفة لإثبات الأفكار، منها المنطق، النقل من النصوص، التجارب، البيانات، أو مقارنة الحالات.
أساليب البرهنة هي الطرق والتقنيات التي تستخدم لإثبات صحة عبارة رياضية أو منطقية. تهدف البرهنة إلى إقناع القارئ أو المستمع بصحة الادعاء المقدم بشكل قاطع لا يقبل الشك، بناءً على الحقائق والتعريفات والمسلمات المعروفة.
إليك بعض أساليب البرهنة الشائعة مع شرح موجز لكل منها:
* **البرهان المباشر (Direct Proof):**
* **الفكرة:** نبدأ بالمعطيات (الفرضيات) ونستخدم القواعد المنطقية والتعريفات والنتائج المعروفة للوصول خطوة بخطوة إلى النتيجة المطلوبة.
* **المثال:** لإثبات "إذا كان *n* عددًا زوجيًا، فإن *n*
2 عدد زوجي"، نبدأ بـ *n* = 2*k* (تعريف العدد الزوجي) ثم نحسب *n*
2 = (2*k*)
2 = 4*k*
2 = 2(2*k*
2)، وهذا يعني أن *n*
2 هو مضاعف للعدد 2 وبالتالي هو عدد زوجي.
* **البرهان غير المباشر (Indirect Proof):** يتضمن نوعين رئيسيين:
* **البرهان بالتناقض (Proof by Contradiction):**
* **الفكرة:** نفترض أن العبارة المراد إثباتها غير صحيحة (أي نفترض نفيها)، ثم نستخدم هذا الافتراض للوصول إلى تناقض (شيء مستحيل أو يتعارض مع الحقائق المعروفة). بما أن الافتراض أدى إلى تناقض، فهذا يعني أن الافتراض خاطئ وبالتالي العبارة الأصلية صحيحة.
* **المثال:** لإثبات أن √2 عدد غير نسبي، نفترض أنه عدد نسبي أي يمكن كتابته على صورة *a*/ *b* حيث *a* و *b* عددان صحيحان ولا يوجد بينهما عامل مشترك. ثم نربع الطرفين ونصل إلى تناقض، مما يثبت أن √2 ليس عددًا نسبيًا.
* **البرهان بالخلاف الإيجابي (Proof by Contrapositive):**
* **الفكرة:** بدلاً من إثبات العبارة "إذا كان *P*، فإن *Q*"، نثبت العبارة المكافئة لها منطقيًا وهي "إذا لم يكن *Q*، فإنه ليس *P*".
* **المثال:** لإثبات "إذا كان *n*
2 عددًا فرديًا، فإن *n* عدد فردي"، نثبت العبارة المكافئة "إذا كان *n* عددًا زوجيًا، فإن *n*
2 عدد زوجي" (وهذا يمكن إثباته بالبرهان المباشر كما ذكرنا سابقًا).
* **البرهان بالاستقراء الرياضي (Mathematical Induction):**
* **الفكرة:** تستخدم لإثبات أن عبارة معينة صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية (أو مجموعة فرعية منها). يتكون من خطوتين أساسيتين:
* **خطوة الأساس (Base Case):** نثبت أن العبارة صحيحة لأصغر عدد في المجموعة (عادةً 0 أو 1).
* **خطوة الاستقراء (Inductive Step):** نفترض أن العبارة صحيحة لعدد طبيعي معين *k* (فرضية الاستقراء)، ثم نستخدم هذا الافتراض لإثبات أن العبارة صحيحة للعدد التالي *k*+1.
* **المثال:** لإثبات أن 1 + 2 + 3 + ... + *n* = *n*(*n*+1)/2 لجميع الأعداد الطبيعية *n*:
* خطوة الأساس: نثبت أن العبارة صحيحة لـ *n* = 1: 1 = 1(1+1)/2 (صحيح).
* خطوة الاستقراء: نفترض أن العبارة صحيحة لـ *n* = *k*: 1 + 2 + 3 + ... + *k* = *k*(*k*+1)/2. ثم نثبت أنها صحيحة لـ *n* = *k*+1: 1 + 2 + 3 + ... + *k* + (*k*+1) = *k*(*k*+1)/2 + (*k*+1) = (*k*
2 + *k* + 2*k* + 2)/2 = (*k*
2 + 3*k* + 2)/2 = (*k*+1)(*k*+2)/2 = (*k*+1)(((*k*+1)+1)/2 (صحيح).
* **البرهان بالحالات (Proof by Cases):**
* **الفكرة:** نقسم المسألة إلى عدد من الحالات الشاملة (بحيث تغطي جميع الاحتمالات الممكنة)، ثم نثبت أن العبارة صحيحة في كل حالة على حدة.
* **المثال:** لإثبات أن |*a* *b*| = |*a*| |*b*|، نقسم إلى الحالات التالية: (1) *a* ≥ 0 و *b* ≥ 0، (2) *a* ≥ 0 و *b* < 0، (3) *a* < 0 و *b* ≥ 0، (4) *a* < 0 و *b* < 0. ثم نثبت أن العبارة صحيحة في كل حالة.
* **البرهان البناء (Constructive Proof):**
* **الفكرة:** لإثبات وجود شيء ما، نبني أو نوجد مثالًا فعليًا لهذا الشيء.
* **المثال:** لإثبات وجود عدد غير نسبي بين أي عددين نسبيين مختلفين، يمكننا أن نأخذ متوسطهما ونضيف إليه √2 مقسومًا على عدد كبير بما يكفي لضمان أن الناتج لا يزال يقع بين العددين النسبيين الأصليين.
**ملاحظات هامة:**
* **الدقة والوضوح:** يجب أن يكون البرهان دقيقًا وخاليًا من الأخطاء والغموض. يجب أن تكون كل خطوة مبررة بشكل واضح ومنطقي.
* **التعريفات والمسلمات:** يجب أن يستند البرهان إلى التعريفات والمسلمات المعروفة والمقبولة.
* **الإيجاز:** يفضل أن يكون البرهان موجزًا قدر الإمكان، مع الحفاظ على الوضوح والدقة.
* **التحقق:** من المستحسن التحقق من البرهان بعناية للتأكد من خلوه من الأخطاء.
تختلف الأساليب المستخدمة حسب طبيعة العبارة المراد إثباتها. اختيار الأسلوب المناسب هو جزء مهم من عملية البرهنة.
اذا كان لديك إجابة افضل او هناك خطأ في الإجابة علي سؤال عرفي أساليب البرهنة اترك تعليق فورآ.
