الإجابة الصحيحة هي: رأس الزاوية ومنتصف الضلع المقابل لها.
ويمكن تفسير ذلك من خلال نظرية منصف الزاوية الداخلية، والتي تنص على أنه إذا نصفت زاوية داخلية في مثلث، فإن المنصف يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين، تكون النسبة بين طوليهما هي نفس النسبة بين طولي الضلعين المجاورين غير المشتركين للزاوية المنصفة.
وبالتالي، فإن كل نقطة تقع على منصف الزاوية تكون على بعدين متساويين من رأس الزاوية ومنتصف الضلع المقابل لها.
وفيما يلي توضيح لذلك من خلال الرسم التالي:
A
/ \
/ \
B M C
في هذا المثلث، AB = AC و AM = MC.
وبالتالي، فإن أي نقطة M تقع على منصف الزاوية A تكون على بعدين متساويين من A و C، أي أن AM = MC.
ويمكن إثبات ذلك رياضيًا باستخدام تشابه المثلثات.
لنفترض أن M هي نقطة تقع على منصف الزاوية A، كما هو موضح في الرسم أعلاه.
ولأن AM هو منصف الزاوية A، فإن الزاويتين AMB و ACM تكونان متساويتين.
وبالتالي، فإن المثلثات AMB و ACM متشابهتان، حيث أنهما لهما زاوية مشتركة هي الزاوية A، وزوايا أخرى متساوية هي الزوايا AMB و ACM.
وبناءً على نظرية التشابه، فإن النسبة بين أطوال أضلاع المثلثات المتشابهة تكون متساوية.
وبالتالي، فإن النسبة بين طولي AM و BM تساوي النسبة بين طولي CM و MC.
ولكن، بما أن AM = BM، فإن النسبة بين طولي CM و MC تساوي 1.
وبالتالي، فإن CM = MC.
وهذا يعني أن أي نقطة M تقع على منصف الزاوية A تكون على بعدين متساويين من A و C، أي أن AM = MC.
