أوجد عدد الأوساط الحسابية بين العددين ٧، ٦٤ إذا كان الوسط العاشر = ٣٧. ؟ - مع الشرح

Question

أوجد عدد الأوساط الحسابية بين العددين ٧، ٦٤ إذا كان الوسط العاشر = ٣٧. ؟؟

الإجابة الصحيحة من خلال موقع بوابة الإجابات هي:

١٨ وسطًا حسابيًا

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم المتتالية الحسابية.

• فهم المتتالية الحسابية: المتتالية الحسابية هي سلسلة من الأرقام تزيد أو تنقص بمقدار ثابت. هذا المقدار الثابت يسمى "الفرق المشترك" (d).
• الوسط الحسابي: الأوساط الحسابية هي الأرقام التي تقع بين حدين في المتتالية الحسابية.
• صيغة الحد العام في المتتالية الحسابية: الحد النوني (a_n) في المتتالية الحسابية يُعطى بالصيغة: a_n = a₁ + (n - 1)d، حيث a₁ هو الحد الأول، و d هو الفرق المشترك.

الآن، لنطبق ذلك على المسألة:

1. تحديد المعطيات:

• الحد الأول (a₁) = 7
• الحد الأخير (a_n) = 64
• الوسط العاشر (a₁₀) = 37 (لاحظ أن الوسط العاشر هو الحد العاشر في المتتالية التي تبدأ بالحد الأول).

1. إيجاد الفرق المشترك (d):

• باستخدام صيغة الحد العام للوسط العاشر: a₁₀ = a₁ + (10 - 1)d
• نعوض بالقيم: 37 = 7 + 9d
• نحل المعادلة لإيجاد d: 30 = 9d => d = 30/9 = 10/3

1. إيجاد عدد الحدود (n):

• نعلم أن الحد الأخير هو 64، أي a_n = 64.
• باستخدام صيغة الحد العام: 64 = 7 + (n - 1)(10/3)
• نحل المعادلة لإيجاد n: 57 = (n - 1)(10/3) => 171 = 10n - 10 => 181 = 10n => n = 18.1
• بما أن عدد الحدود يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فإننا نقرب n إلى أقرب عدد صحيح. ولكن، يجب أن نلاحظ أننا أوجدنا n بناءً على اعتبار أن 64 هو الحد الأخير *بعد* إدخال الأوساط الحسابية. لذلك، n يمثل عدد الحدود الكلي في المتتالية الجديدة.

1. إيجاد عدد الأوساط الحسابية:

• عدد الأوساط الحسابية = عدد الحدود الكلي - 2 (لأننا بدأنا بالحد الأول وانتهينا بالحد الأخير).
• عدد الأوساط الحسابية = 18.1 - 2 = 16.1
• بما أن عدد الأوساط يجب أن يكون عددًا صحيحًا، نراجع حساباتنا. الخطأ يكمن في التقريب. نعود إلى المعادلة 64 = 7 + (n - 1)(10/3) ونعيد ترتيبها:
• 57 = (n-1)(10/3)
• 171/10 = n-1
• n = 171/10 + 1 = 181/10 = 18.1
• هذا يعني أن 64 ليس حدًا في المتتالية الحسابية بالضبط. ولكن، بما أن السؤال يطلب عدد الأوساط الحسابية، فإننا نفترض أن هناك عددًا صحيحًا من الأوساط. لذلك، يجب أن يكون n عددًا صحيحًا. نعود إلى a_n = a₁ + (n-1)d ونبحث عن قيمة n التي تجعل a_n قريبة من 64.
• إذا كان n = 19، فإن a₁₉ = 7 + (18)(10/3) = 7 + 60 = 67.
• إذا كان n = 18، فإن a₁₈ = 7 + (17)(10/3) = 7 + 170/3 = 21/3 + 170/3 = 191/3 = 63.67 (تقريبًا).
• بما أن 63.67 أقرب إلى 64، فإننا نختار n = 18.
• عدد الأوساط الحسابية = n - 2 = 18 - 2 = 16.

1. تصحيح الحل:

• الخطأ في الحل السابق هو أننا افترضنا أن 64 هو الحد الأخير بالضبط. بما أن الوسط العاشر هو 37، والفرق المشترك هو 10/3، فإننا يمكننا حساب عدد الأوساط الحسابية مباشرة.
• الوسط العاشر هو a₁₀ = 37. الحد الأخير هو a_n = 64.
• عدد الحدود بين a₁ و a_n هو n - 1.
• عدد الأوساط الحسابية هو n - 2.
• لإيجاد n، نستخدم a_n = a₁ + (n - 1)d:
• 64 = 7 + (n - 1)(10/3)
• 57 = (n - 1)(10/3)
• 171 = 10(n - 1)
• 17.1 = n - 1
• n = 18.1
• بما أن n يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فإننا نختار أقرب عدد صحيح، وهو 18.
• عدد الأوساط الحسابية = 18 - 2 = 16.

ولكن، هناك خطأ في الحل. يجب أن نستخدم المعلومة عن الوسط العاشر بشكل أفضل.

• الوسط العاشر هو a₁₀ = 37. هذا يعني أن هناك 9 أوساط حسابية قبل الوسط العاشر.
• العدد الكلي للحدود هو n = 10 + عدد الأوساط بعد الوسط العاشر.
• نستخدم a_n = 64 = a₁₀ + (n - 10)d
• 64 = 37 + (n - 10)(10/3)
• 27 = (n - 10)(10/3)
• 81 = 10(n - 10)
• 8.1 = n - 10
• n = 18.1
• بما أن n يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فإننا نختار n = 18.
• عدد الأوساط الحسابية = n - 2 = 18 - 2 = 16.

الحل الصحيح هو 16 وسطًا حسابيًا.

اذا كان لديك إجابة افضل او هناك خطأ في الإجابة علي سؤال أوجد عدد الأوساط الحسابية بين العددين ٧، ٦٤ إذا كان الوسط العاشر = ٣٧. ؟ اترك تعليق فورآ.

Answer 1

سوف تجد إجابة سؤال أوجد عدد الأوساط الحسابية بين العددين ٧، ٦٤ إذا كان الوسط العاشر = ٣٧. ؟ بالأعلى.