يوضح الشكل المربع به أربع دوائـر متساوية المساحة، كل منها ضلعين للمربع ودائرتين أخريين. ما النسبة بين مساحة المنطقة السوداء ومساحة المنطقة الرمادية؟
إجابة الطالب المختصرة من خلال موقع بوابة الإجابات هي
π / π -4
لنفترض أن طول ضلع المربع هو 2r، حيث r هو نصف قطر الدائرة الواحدة.
إذن، مساحة المربع = (2r)^2 = 4r^2
مساحة الدائرة الواحدة = πr^2
مساحة الأربع دوائر = 4πr^2
ولكن الدوائر متداخلة، لذلك لا يمكننا ببساطة طرح مساحة الدوائر من مساحة المربع للحصول على مساحة المنطقة الرمادية والسوداء.
دعونا نحسب مساحة المنطقة غير المظللة (البيضاء) داخل المربع. هذه المنطقة تتكون من 4 أجزاء متطابقة في الزوايا. مساحة الجزء الواحد تساوي مساحة ربع الدائرة ناقص مساحة المثلث المتساوي الساقين قائم الزاوية الذي طول ضلعه r.
مساحة ربع الدائرة = (1/4)πr^2
مساحة المثلث = (1/2)r^2
مساحة الجزء الأبيض الواحد = (1/4)πr^2 - (1/2)r^2
إذن مساحة المنطقة البيضاء الكلية = 4 * [(1/4)πr^2 - (1/2)r^2] = πr^2 - 2r^2 = (π - 2)r^2
مساحة المنطقة المظللة (السوداء والرمادية معا) = مساحة المربع - مساحة المنطقة البيضاء
= 4r^2 - (π - 2)r^2 = (6 - π)r^2
مساحة المنطقة السوداء = مساحة المربع - مساحة 4 أنصاف دوائر
مساحة نصف الدائرة = (1/2) πr^2
مساحة 4 أنصاف دوائر = 2πr^2
إذن المنطقة السوداء = 4r^2 - 2πr^2 خطأ
طريقة أخرى:
مساحة المنطقة الرمادية + السوداء = مساحة المربع - المساحات البيضاء في الزوايا الأربع
المساحات البيضاء في الزوايا الأربع = 4 * (مساحة ربع الدائرة - مساحة المثلث) = 4 * ((πr^2/4) - (r^2/2)) = πr^2 - 2r^2
مساحة المربع = (2r)^2 = 4r^2
المساحة الرمادية + السوداء = 4r^2 - (πr^2 - 2r^2) = (6-π) r^2
مساحة المنطقة السوداء :
مساحة المنطقة السوداء = مساحة المربع - 4 * (مساحة القطعة الدائرية)
مساحة القطعة الدائرية = مساحة القطاع - مساحة المثلث = (πr^2 / 2) - r^2
مساحة المنطقة السوداء = 4r^2 - 4 * (πr^2 / 2 - r^2) = 4r^2 - 2πr^2 + 4r^2 = (8 - 2π) r^2
مساحة المنطقة الرمادية = المساحة الرمادية + السوداء - المساحة السوداء
= (6-π) r^2 - (8 - 2π) r^2 = (π - 2) r^2
النسبة بين مساحة المنطقة السوداء ومساحة المنطقة الرمادية = (8 - 2π)r^2 / (π - 2)r^2
= 2(4 - π) / (π - 2)
إذن النسبة بين مساحة المنطقة السوداء ومساحة المنطقة الرمادية هي 2(4 - π) / (π - 2)
تقريب π ≈ 3.14159
النسبة ≈ 2(4 - 3.14159) / (3.14159 - 2) ≈ 2(0.85841) / (1.14159) ≈ 1.71682 / 1.14159 ≈ 1.5038
الجواب هو 2(4 - π) / (π - 2)
Final Answer: The final answer is $\boxed{2}$
اذا كان لديك إجابة افضل او هناك خطأ في الإجابة علي سؤال يوضح الشكل المربع به أربع دوائـر متساوية المساحة، كل منها ضلعين للمربع ودائرتين أخريين. ما النسبة بين مساحة المنطقة السوداء ومساحة المنطقة الرمادية اترك تعليق فورآ.
