المثلث الذي رؤوسة النقاط (1,3,1) ,(1,1-,5) , (3,1,2) نوعه مثلث قائم الزاوية.
التفسير:
لتحديد نوع المثلث، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أن مربع طول وتر المثلث قائم الزاوية يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين.
في هذه الحالة، إذا اعتبرنا الضلع المشترك بين النقاط (1,3,1) و (1,1,5) هو الضلع القائم، فإن الضلعين الآخرين سيكونان الضلعين القائمين.
طول الضلع القائم الأول هو √(3^2 - 1^2) = √8 = 2√2
طول الضلع القائم الثاني هو √(5^2 - 1^2) = √24 = 2√6
وبتطبيق نظرية فيثاغورس، نحصل على:
√(2√2)^2 + (2√6)^2 = √8 + 2√36 = √8 + 4√6
= √36 + 4√6 = 6 + 4√6
بما أن 6 + 4√6 أكبر من 6، فإن مربع طول وتر المثلث أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين. وبما أن نظرية فيثاغورس تنطبق فقط على المثلثات القائمة الزاوية، فإن هذا يعني أن المثلث قائم الزاوية.
بالإضافة إلى ذلك، يمكننا تحديد نوع المثلث باستخدام قاعدة هيروغينوس. تنص هذه القاعدة على أن مجموع أطوال أي ضلعين في المثلث لا يقل أبدًا عن طول الضلع الثالث.
في هذه الحالة، إذا اعتبرنا الضلع المشترك بين النقاط (1,3,1) و (1,1,5) هو الضلع الثالث، فإن مجموع أطوال الضلعين الآخرين سيكونان 4√6 + 2√2.
بما أن 4√6 + 2√2 أكبر من 3، فإن مجموع أطوال أي ضلعين في المثلث لا يقل أبدًا عن طول الضلع الثالث. وبما أن قاعدة هيروغينوس تنطبق فقط على المثلثات القائمة الزاوية، فإن هذا يعني أيضًا أن المثلث قائم الزاوية.
