الإجابة: نعم، الجذور النونية للعدد واحد تقع جميعها على دائرة الوحدة.
التفسير الموسع:
يمكن إيجاد الجذور النونية للعدد واحد باستخدام المعادلة الآتية:
x^n = 1
حيث n هو عدد صحيح موجب.
إذا حللنا هذه المعادلة، نحصل على مجموعة من الجذور النونية، والتي يمكن تمثيلها على مخطط أرجاند على النحو الآتي:
z = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
حيث k هو عدد صحيح يتراوح من 0 إلى n-1.
لاحظ أن جميع هذه الجذور لها مقياس يساوي 1. وهذا يعني أن جميعها تقع على دائرة الوحدة، حيث يكون نصف قطرها يساوي 1.
مثال:
لنفترض أن n = 3. في هذه الحالة، فإن الجذور النونية للعدد واحد هي:
z1 = cos(2π/3) + i sin(2π/3)
z2 = cos(4π/3) + i sin(4π/3)
z3 = cos(0) + i sin(0) = 1
يمكننا رسم هذه الجذور على مخطط أرجاند على النحو الآتي:
كما نلاحظ، فإن هذه الجذور تقع جميعها على دائرة الوحدة.
تطبيق:
يمكن استخدام هذه الخاصية في العديد من التطبيقات، مثل:
- دراسة الدوال المثلثية.
- تحليل الدوال المركبة.
- حل المعادلات التفاضلية.
- معالجة الإشارات.
