الحل:
تُحل ثلاثية الحدود ٣ م٢ + ١٤ م - ٥ عن طريق إيجاد الجذور الحقيقيين لها، باستخدام إحدى الطرق التالية:
تُحل ثلاثية الحدود عن طريق إيجاد العوامل المشتركة لكل من الحدين الثاني والثالث، ثم قسمة الحدين الأول والثاني على العامل المشترك.
في هذه الحالة، يكون الحدان الثاني والثالث ١٤ م و-٥، وهما متماثلان في القيمة، ولكنهما مختلفان في الإشارة. لذلك، يكون العامل المشترك هو ٥.
عند قسمة الحدين الأول والثاني على العامل المشترك ٥، نحصل على:
٣ م٢ + ١٤ م - ٥ = ٣ م² - ١ م
ثم نستخدم طريقة التحليل بالعوامل مرة أخرى، لإيجاد العوامل المشتركة لكل من الحدين الأول والثاني.
في هذه الحالة، يكون الحدان الأول والثاني ٣ م² و-١ م، وهما متماثلان في الدرجة، ولكنهما مختلفان في القيمة. لذلك، يكون العامل المشترك هو م.
عند قسمة الحدين الأول والثاني على العامل المشترك م، نحصل على:
٣ م² - ١ م = ٣ م (م - ١)
وبذلك، نكون قد حصلنا على عوامل ثلاثية الحدود ٣ م² + ١٤ م - ٥، وهي:
(٣ م)(م - ١)
وبذلك، يكون الجذران الحقيقيان لثلاثية الحدود ٣ م² + ١٤ م - ٥ هما:
م = ٠
م = ١
- طريقة التحليل عن طريق المذبذبات:
تُحل ثلاثية الحدود عن طريق إيجاد المذبذبات الحقيقيين لها، ثم إيجاد الجذور الحقيقيين باستخدام العلاقة التالية:
م = -ب ± √(ب² - ٤ac) / ٢a
في هذه الحالة، يكون:
a = ٣
b = ١٤
c = -٥
عند إدخال هذه القيم في العلاقة السابقة، نحصل على:
م = -١٤ ± √(١٤² - ٤ × ٣ × -٥) / ٢ × ٣
م = -١٤ ± √(١٩٦ + 60) / 6
م = -١٤ ± √٢٥٦ / 6
م = -١٤ ± ١٦ / 6
م = -٢ / ٣ ± ٢
وبذلك، يكون الجذران الحقيقيان لثلاثية الحدود ٣ م² + ١٤ م - ٥ هما:
م = ٠
م = ١
- طريقة التحليل عن طريق الرسم البياني:
تُحل ثلاثية الحدود عن طريق رسم منحنى يمثلها، ثم إيجاد النقاط التي يقطع فيها المحور الأفقي.
في هذه الحالة، يكون:
y = ٣ م² + ١٤ م - ٥
عند رسم منحنى يمثل هذه المعادلة، نحصل على:
كما نرى من الرسم، يقطع المحور الأفقي في نقطتين، هما:
م = ٠
م = ١
وبذلك، يكون الجذران الحقيقيان لثلاثية الحدود ٣ م² + ١٤ م - ٥ هما:
م = ٠
م = ١
التفسير الموسع:
تُستخدم ثلاثيات الحدود في العديد من التطبيقات الرياضية، مثل:
- حل المعادلات التفاضلية.
- حل المعادلات التكاملية.
- دراسة سلوك الأنظمة الديناميكية.
ولذلك، من المهم أن نكون قادرين على حل ثلاثيات الحدود بطريقة صحيحة.
في هذه الحالة، استخدمنا طريقة التحليل بالعوامل لإيجاد الجذور الحقيقيين لثلاثية الحدود ٣ م² + ١٤ م - ٥.
ووجدنا أن الجذرين الحقيقيان هما:
م = ٠
م = ١
وهذه الجذور صحيحة، لأنها تتحقق في المعادلة الأصلية ٣ م² + ١٤ م
