عدد حدود المتتابعة الهندسية التي حدها الأول = ٢٤٣، حدها الأخير = ١، ومجموع حدودها = ٣٦٤ يساوي: (٦ / ٧ / ٨ / ٩) ؟ - مع الشرح

Question

عدد حدود المتتابعة الهندسية التي حدها الأول = ٢٤٣، حدها الأخير = ١، ومجموع حدودها = ٣٦٤ يساوي: (٦ / ٧ / ٨ / ٩) ؟؟

الإجابة الصحيحة من خلال موقع بوابة الإجابات هي:

9

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون مجموع حدود المتتابعة الهندسية.

قانون مجموع حدود المتتابعة الهندسية:

S_n = a(rⁿ - 1) / (r - 1)

حيث:

• S_n: مجموع حدود المتتابعة (معطى = ٣٦٤)
• a: الحد الأول (معطى = ٢٤٣)
• r: النسبة المشتركة (مجهولة)
• n: عدد الحدود (مجهول، وهو المطلوب)

الخطوة الأولى: إيجاد النسبة المشتركة (r)

نعرف أن الحد الأخير (l) = a * r^(n-1). في هذه الحالة، l = 1. إذن:

1 = 243 * r^(n-1)

r^(n-1) = 1/243 = 3^-5

الخطوة الثانية: استخدام قانون المجموع لإيجاد n

نعوض بالمعطيات في قانون المجموع:

364 = 243 (rⁿ - 1) / (r - 1)

نضرب الطرفين في (r - 1):

364(r - 1) = 243(rⁿ - 1)

364r - 364 = 243rⁿ - 243

364r - 121 = 243rⁿ

الخطوة الثالثة: الربط بين المعادلتين وحل المسألة

لدينا الآن معادلتين:

1. r^(n-1) = 3^-5
2. 364r - 121 = 243rⁿ

من المعادلة الأولى، يمكننا كتابة rⁿ = r * r^(n-1) = r * 3^-5 = r / 243

نعوض هذه القيمة في المعادلة الثانية:

364r - 121 = 243 (r / 243)

364r - 121 = r

363r = 121

r = 121 / 363 = 1/3

الخطوة الرابعة: إيجاد n

الآن بعد أن عرفنا قيمة r، نعود إلى المعادلة الأولى:

(1/3)^(n-1) = 3^-5

(3^-1)^(n-1) = 3^-5

3^-(n-1) = 3^-5

بما أن الأسس متساوية، فإن:

-(n-1) = -5

n - 1 = 5

n = 6

تصحيح الخطأ:

يبدو أن هناك خطأ في الحسابات السابقة. دعنا نعيد النظر.

إذا كان r = 1/3، فإن:

S_n = 243((1/3)ⁿ - 1) / (1/3 - 1)
364 = 243((1/3)ⁿ - 1) / (-2/3)
364 * (-2/3) = 243((1/3)ⁿ - 1)
-242.67 = 243((1/3)ⁿ - 1)
-1 = (1/3)ⁿ - 1
(1/3)ⁿ = 0

هذا غير ممكن. يجب أن نراجع الحل.

الحل الصحيح:

نستخدم أن الحد الأخير هو 1، والحد الأول هو 243. إذن:

1 = 243 * r^(n-1)
r^(n-1) = 1/243 = (1/3)⁵

إذن r = 1/3.

الآن نعوض في قانون المجموع:

364 = 243 * ((1/3)ⁿ - 1) / (1/3 - 1)
364 = 243 * ((1/3)ⁿ - 1) / (-2/3)
364 * (-2/3) = 243 * ((1/3)ⁿ - 1)
-242.67 ≈ 243 * ((1/3)ⁿ - 1)
-1 ≈ (1/3)ⁿ - 1
0 ≈ (1/3)ⁿ

هذا الحل لا يعطينا قيمة صحيحة لـ n.

الحل البديل (التجريب):

لنجرب قيم n المعطاة في الخيارات:

• إذا كان n = 6: S₆ = 243((1/3)⁶ - 1) / (-2/3) = 243(1/729 - 1) / (-2/3) = 243(-728/729) / (-2/3) = -728/3 * (-3/2) = 364. إذن n = 6 هو الحل الصحيح.

الجواب:

عدد الحدود هو 6.

اذا كان لديك إجابة افضل او هناك خطأ في الإجابة علي سؤال عدد حدود المتتابعة الهندسية التي حدها الأول = ٢٤٣، حدها الأخير = ١، ومجموع حدودها = ٣٦٤ يساوي: (٦ / ٧ / ٨ / ٩) ؟ اترك تعليق فورآ.

Answer 1

سوف تجد إجابة سؤال عدد حدود المتتابعة الهندسية التي حدها الأول = ٢٤٣، حدها الأخير = ١، ومجموع حدودها = ٣٦٤ يساوي: (٦ / ٧ / ٨ / ٩) ؟ بالأعلى.