إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني للنظام الآتي y ⩾ 3x 7y ⩽ 8x y 1 هي؟
إجابة الطالب المختصرة من خلال موقع بوابة الإجابات هي
أ)(0, 0)،(2, 0)،(0, 5).
لإيجاد إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني للنظام الآتي:
* y ≥ 3x
* 7y ≤ 8x
* y ≤ 1
**الخطوة 1: إيجاد نقاط التقاطع**
نحتاج لإيجاد نقاط تقاطع المستقيمات الممثلة للمعادلات الناتجة عن تغيير علامات المتباينات إلى مساواة:
1. **y = 3x و 7y = 8x**
* بالتعويض من المعادلة الأولى في الثانية: 7(3x) = 8x
* 21x = 8x
* 13x = 0
* x = 0
* بالتعويض في y = 3x نجد أن y = 0
* نقطة التقاطع الأولى هي (0, 0)
2. **y = 3x و y = 1**
* بالتعويض عن y في المعادلة الأولى: 1 = 3x
* x = 1/3
* نقطة التقاطع الثانية هي (1/3, 1)
3. **7y = 8x و y = 1**
* بالتعويض عن y في المعادلة الأولى: 7(1) = 8x
* x = 7/8
* نقطة التقاطع الثالثة هي (7/8, 1)
**الخطوة 2: التحقق من أن نقاط التقاطع تحقق المتباينات**
يجب التحقق من أن منطقة الحل محددة بثلاث نقاط. للقيام بذلك، نتحقق من أن نقاط التقاطع التي وجدناها تحقق جميع المتباينات الأصلية.
* النقطة (0, 0):
* 0 ≥ 3(0) (صحيح)
* 7(0) ≤ 8(0) (صحيح)
* 0 ≤ 1 (صحيح)
* إذن (0, 0) نقطة رأس.
* النقطة (1/3, 1):
* 1 ≥ 3(1/3) (صحيح)
* 7(1) ≤ 8(1/3) (غير صحيح، 7 ≤ 8/3 غير صحيح)
* إذن (1/3, 1) ليست نقطة رأس.
* النقطة (7/8, 1):
* 1 ≥ 3(7/8) (غير صحيح، 1 ≥ 21/8 غير صحيح)
* 7(1) ≤ 8(7/8) (صحيح)
* 1 ≤ 1 (صحيح)
* إذن (7/8, 1) ليست نقطة رأس.
**تصحيح الخطأ والتحقق من المنطقة المحصورة**
يبدو أن هناك خطأ في تحديد المنطقة المحصورة أو في حل المعادلات. المهم هو أن المنطقة يجب أن تحقق جميع المتباينات الثلاث. لنعد إلى المتباينات:
* y ≥ 3x (المنطقة فوق الخط y = 3x)
* 7y ≤ 8x أو y ≤ (8/7)x (المنطقة تحت الخط y = (8/7)x)
* y ≤ 1 (المنطقة تحت الخط y = 1)
الآن، نعيد فحص نقاط التقاطع مع الأخذ في الاعتبار هذه الشروط:
1. **التقاطع بين y = 3x و y = 1:** كما وجدنا سابقًا، النقطة هي (1/3, 1). لكن هذه النقطة يجب أن تحقق أيضًا y ≤ (8/7)x، أي 1 ≤ (8/7)(1/3) = 8/21، وهذا غير صحيح. لذا، هذه ليست نقطة رأس.
2. **التقاطع بين y = (8/7)x و y = 1:** كما وجدنا سابقًا، النقطة هي (7/8, 1). هذه النقطة يجب أن تحقق أيضًا y ≥ 3x، أي 1 ≥ 3(7/8) = 21/8، وهذا غير صحيح. لذا، هذه ليست نقطة رأس.
3. **التقاطع بين y = 3x و y = (8/7)x:** كما وجدنا سابقًا، النقطة هي (0, 0). وهي تحقق y ≤ 1. لذا هذه نقطة رأس.
**إيجاد نقطة الرأس الثالثة: نقطة التقاطع بين y=3x والخط الأفقي الذي يوازي محور السينات عند y=1 والذي يمثل المعادلة y=1**
لإيجاد نقطة الرأس الثالثة، نحتاج إلى نقطة تحقق جميع المتباينات. النقطة (0,0) تحقق المتباينات الثلاثة, ونحتاج لنقطة تحقق y=1 و y=3x وهي النقطة (1/3,1) لكنها لاتحقق الشرط 7y ≤ 8x لأن 7(1) ≤ 8(1/3) تساوي 7 ≤ 8/3 وهو غير صحيح, إذن النقطة (1/3,1) خارج منطقة الحل.
كذلك النقطة التي تحقق y=1 و7y=8x وهي النقطة (7/8,1) لكنها لاتحقق الشرط y ≥ 3x لأن 1 ≥ 3(7/8) تساوي 1 ≥ 21/8 وهو غير صحيح, إذن النقطة (7/8,1) خارج منطقة الحل.
نلاحظ أن المستقيم y=1 يقطع المستقيم 7y=8x في الربع الأول, بينما يقطع المستقيم y=3x في الربع الأول, وبما أن منطقة الحل محصورة بين المستقيمين y=3x و7y=8x وتقع تحت المستقيم الأفقي y=1 إذن يجب أن تقع نقطة الرأس الثالثة على أحد المستقيمين y=3x أو 7y=8x .
لنفرض أن نقطة الرأس الثالثة تقع على المستقيم y=3x إذن لتحقيق المتباينة 7y ≤ 8x تصبح 7(3x) ≤ 8x ومنها 21x ≤ 8x وهذا يعني أن x ≤ 0 وبما أننا في الربع الأول إذن هذه النقطة مرفوضة.
لنفرض أن نقطة الرأس الثالثة تقع على المستقيم 7y=8x إذن لتحقيق المتباينة y ≥ 3x تصبح (8x)/7 ≥ 3x ومنها 8x ≥ 21x وهذا يعني أن x ≤ 0 وبما أننا في الربع الأول إذن هذه النقطة مرفوضة.
**نتيجة:**
بعد التحليل الدقيق، نجد أن المنطقة المحددة بهذه المتباينات هي منطقة *غير محدودة*. هذا يعني أنه لا يوجد مثلث محدد بثلاثة رؤوس. المنطقة تمتد إلى ما لا نهاية.
**ملحوظة:** من المهم دائمًا رسم المتباينات للتحقق بصريًا من المنطقة الناتجة. في هذه الحالة، الرسم سيظهر بوضوح أن المنطقة مفتوحة وغير محدودة.
اذا كان لديك إجابة افضل او هناك خطأ في الإجابة علي سؤال إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني للنظام الآتي y ⩾ 3x 7y ⩽ 8x y 1 هي اترك تعليق فورآ.
