حل المتباينة الآتية: log 4 2 x + 5 ⩽ log 4 4 x - 3 هو ؟؟
الإجابة الصحيحة من خلال موقع بوابة الإجابات هي:
x ≥ 4
لحل المتباينة log 4 2x + 5 ⩽ log 4 4x - 3، نتبع الخطوات التالية:
- استخدام خصائص اللوغاريتمات لتبسيط المتباينة:
- نستخدم خاصية أن log b (a) + log b (c) = log b (a*c). نطبق هذه الخاصية على الطرف الأيسر:
log 4 (2x) + log 4 (4^5) ⩽ log 4 (4x) - 3
log 4 (2x * 4^5) ⩽ log 4 (4x) - 3
- نستخدم خاصية أن log b (a) - log b (c) = log b (a/c). لكن أولاً، يجب تحويل -3 إلى لوغاريتم بنفس الأساس. نعلم أن 3 = log 4 (4^3). إذن:
log 4 (2x * 4^5) ⩽ log 4 (4x) - log 4 (4^3)
log 4 (2x * 4^5) ⩽ log 4 (4x / 4^3)
- التخلص من اللوغاريتمات:
- بما أن أساس اللوغاريتم هو نفسه (4) وأكبر من 1، فإن الدالة اللوغاريتمية متزايدة. لذلك، يمكننا إزالة اللوغاريتمات مع الحفاظ على اتجاه المتباينة:
2x * 4^5 ⩽ 4x / 4^3
- حل المتباينة الناتجة:
2x * 4^5 * 4^3 ⩽ 4x
2x * 4^8 ⩽ 4x
- نقسم الطرفين على 2x (مع ملاحظة أن x يجب أن يكون أكبر من الصفر لأننا نتعامل مع لوغاريتم 2x و 4x):
4^8 ⩽ 2
وهذا غير صحيح. لقد ارتكبنا خطأ في الخطوة السابقة. لنعد إلى الخطوة 2 ونصححها.
- تصحيح الخطأ وإكمال الحل:
- الخطأ كان في قسمة الطرفين على 2x دون التأكد من أن x > 0. لنعد إلى:
2x * 4^5 * 4^3 ⩽ 4x
2x * 4^8 ⩽ 4x
- ننقل 4x إلى الطرف الأيسر:
2x * 4^8 - 4x ⩽ 0
2x (4^8 - 2) ⩽ 0
- بما أن (4^8 - 2) دائمًا موجب، فإن الشرط الوحيد لكي تكون المتباينة صحيحة هو أن يكون 2x ≤ 0.
- نقسم على 2:
x ⩽ 0
- التحقق من الحل مع مجال اللوغاريتمات:
- تذكر أننا اشترطنا أن x > 0 بسبب وجود log 4 (2x) و log 4 (4x). لكن الحل الذي توصلنا إليه هو x ⩽ 0. هذا يعني أنه لا يوجد حل للمتباينة الأصلية.
ولكن! هناك خطأ آخر. لقد أهملنا تحويل -3 إلى لوغاريتم في الطرف الأيمن بشكل صحيح. لنعد إلى الخطوة الأولى ونصححها:
- التبسيط الصحيح:
- log 4 (2x) + 5 ⩽ log 4 (4x) - 3
- log 4 (2x) + log 4 (4^5) ⩽ log 4 (4x) - log 4 (4^3)
- log 4 (2x * 4^5) ⩽ log 4 (4x / 4^3)
- log 4 (2x * 1024) ⩽ log 4 (x / 64)
- التخلص من اللوغاريتمات:
- حل المتباينة:
- 2048x ⩽ x / 64
- 2048x - x/64 ⩽ 0
- (2048 - 1/64)x ⩽ 0
- (131072/64 - 1/64)x ⩽ 0
- (131071/64)x ⩽ 0
- x ⩽ 0
- التحقق من الحل مع مجال اللوغاريتمات:
- كما ذكرنا سابقًا، يجب أن يكون x > 0. وبما أن الحل هو x ⩽ 0، فلا يوجد حل للمتباينة.
هناك خطأ إضافي! لقد أهملنا شرط أن 2x > 0 و 4x > 0. لنعد إلى البداية ونحلها بشكل صحيح:
log 4 (2x + 5) ⩽ log 4 (4x - 3)
بما أن أساس اللوغاريتم أكبر من 1، يمكننا إزالة اللوغاريتمات مع الحفاظ على اتجاه المتباينة:
2x + 5 ⩽ 4x - 3
ننقل الحدود:
8 ⩽ 2x
x ⩾ 4
الشرط الإضافي: يجب أن يكون 2x + 5 > 0 و 4x - 3 > 0.
- 2x + 5 > 0 => x > -5/2
- 4x - 3 > 0 => x > 3/4
بما أن x ⩾ 4، فإن كلا الشرطين أعلاه يتحققان.
إذن، الحل هو x ⩾ 4.
اذا كان لديك إجابة افضل او هناك خطأ في الإجابة علي سؤال حل المتباينة الآتية: log 4 2 x + 5 ⩽ log 4 4 x - 3 هو ؟ اترك تعليق فورآ.
